Định nghĩa nhị thức Newton

Binom trên Newton

Mở rộng (a + b)^N được cho bởi công thức sau:

C a và b là số nguyên và n là số nguyên dương, ta có:

Quy ước a = b = 1

Hậu quả:

Tính chất của công thức nhị thức Newton

Tính chất của công thức nhị thức Newton

• Số thành viên của công thức là n + 1
• Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn bằng bậc của nhị thức:

(n – k) + k = n

• Số hạng tổng quát của nhị thức là:

HÀNG TRIỆU_{k + 1} = C_N^k một^nk b^k (Đây là k + thành viên đầu tiên của phần mở rộng (a + b)^N )

• Hệ số của nhị thức cách đều hai số hạng đầu tiên và cuối cùng bằng nhau

Một số kiến ​​thức liên quan

Công thức mở rộng nhị thức Newton:

Công thức tổ hợp

Thuộc tính hàm mũ

Cách giải bài toán tìm số hạng thứ k trong khai triển nhị thức Newton

Bước 1: Khai triển nhị thức Newton để tìm số hạng tổng quát:

Bước 2: Dựa vào bài toán, giải phương trình hai số mũ bằng nhau.

Một số hạng chứa x^m tương ứng với giá trị k thỏa mãn: np – pk + qk = m

Từ đó tìm được: k = (m – np) / (p – q)

Vậy hệ số của số hạng chứa x^m là C_N^k một^nk b^k với giá trị của k tìm được ở trên

Nếu k không phải là gruyen hoặc k> n thì phần mở rộng không chứa x^mhệ số được tìm thấy là 0

Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa x^m đang mở rộng

P (x) = (a + bx^P + cx^q)^N được viết dưới dạng a + a_{Đầu tiên}x +… + a_2nx²ⁿ

Chúng tôi làm như sau:

• Viết P (x) = (a + bx)^P + cx^q)^N

• Viết thuật ngữ tổng quát khi mở rộng các thành viên của biểu mẫu bx^P + cx^q
• Là một đa thức bậc x
• Từ số hạng chung của hai phần mở rộng trên, ta có thể tính được hệ số của x^m

Lưu ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Newton

Chúng tôi làm như sau:

• Tính hệ số a_k theo k và n
• Giải bất phương trình sau với k ẩn số

• Hệ số lớn nhất phải tìm để có k số tự nhiên lớn nhất ứng với bất đẳng thức trên

Ví dụ 1: Tìm thành viên thứ 21 trong phần mở rộng (2 – 3x)²⁵

giải thưởng

Thuật ngữ thứ 21 trong bản phóng to là:

CŨ²⁰₂₅. 2⁵ (-3x)²⁰ = 2⁵. 3²⁰. CŨ²⁰₂₅. x²⁰

Ví dụ 2: Tìm số hạng chính giữa trong phần mở rộng (3x² -y)^mười

phần thưởng:

Trong phần mở rộng (3x² -y)^mười có tổng cộng 11 thành viên, như vậy thành viên ở giữa là thành viên thứ 6. Vậy hệ số của số hạng thứ 6 là -3⁵ . ° C⁵_mười

Ví dụ 3: Tìm hệ số của x³ (x> 0) trong phần mở rộng sau:

phần thưởng:

Thuật ngữ chung trong phần mở rộng trên là: T_{k + 1} = C^k₆ .x^{6 phòng}. 2^k. x^{(-k / 2)}

Hỏi nhiệm vụ xảy ra khi 6 – k – (k / 2) = 3 => k = 3

Khi đó hệ số của x³ là C³₆.2³ = 160

Bài toán tìm hệ số trong khai triển nhị thức Newton.

Tìm hệ số x^k trong phần mở rộng nhị thức của Newton

Phương pháp chung:

• Sử dụng công thức mở rộng nhị thức Newton
• Tìm số hạng chứa x^k và tìm hệ số tương ứng

Ví dụ: Tìm hệ số của x³ trong phần mở rộng (2 + x)⁵

phần thưởng:

Chúng ta có

Cho k = 3 ta thu được hệ số của x³ là C³₅. 2^5-3 = 40

Bài toán tính toán chứng minh đẳng thức

Phương pháp giải quyết

• Sử dụng tiện ích mở rộng:

(a + b)^N = C_N một^N + CŨ^{Đầu tiên}_N một^n-1b + L²_N một^n-2b² +… + CŨ^n-1 _N Về^n-1 + CŨ^N_N b^N

Tìm hiểu những gì để chứng minh

• Bằng cách thay a, b, n bằng các giá trị tương ứng, chúng ta nhận được đẳng thức.

Bài toán ứng dụng nhị thức Newton trong các bài toán tổ hợp

Phương pháp giải bài toán bằng cách ứng dụng nhị thức Newton trong các bài toán tổ hợp

• Chọn phần mở rộng (a + x)^N phù hợp, ở đây a là hằng số
• Sử dụng các phép biến đổi đại số hoặc lấy đạo hàm, tích phân
• Dựa trên điều kiện vấn đề, thay thế x bằng một giá trị cụ thể

Bài toán về phương trình, bất phương trình chứa tổ hợp

Ví dụ: Giải bất phương trình sau: (A²_{Gấp đôi} – MỘT²_x <= (6 / x). CŨ³_x + 10

phần thưởng:

Điều kiện: x phải là số nguyên dương và x> = 3

Chúng ta có bất đẳng thức đã cho, tương đương với:

Vì x là số nguyên dương và x> = 3 nên x thuộc {3; 4}

Bài tập 1: Tìm hệ số của x⁵ trong phần mở rộng của biểu thức sau:

phần thưởng:

Công thức khai triển biểu thức là:

Cho số hạng chứa x⁵ do đó k = 2 và n = 3

Vậy hệ số của x⁵ là C²₁₁ + CŨ³₇ = 90

Bài tập 2: Tính B = 2^N CŨ_N – 2^n-1 CŨ^{Đầu tiên}_N + 2^n-2 CŨ²_N +… + (-1)^k 2^nk CŨ^k_N +… + (-1)² CŨ^N_N

phần thưởng:

Bài tập 3: Tính C = C⁶_mười + CŨ⁷_mười + CŨ^{số 8}_mười + CŨ⁹_mười + CŨ^mười_mười

phần thưởng:

Bài tập 4: Tìm hệ số của x⁵ trong phần mở rộng đa thức của biểu thức:

x (1-2x)⁵ + x² (1 + 3x)^mười

Bài tập 5: Trong đó n là số nguyên dương, gọi a_{3n – 3} là hệ số của x^{3n – 3} trong phần mở rộng đa thức của (x² + 1)^N (x + 2)^N. Tìm n để a_{3n – 3} = 26n

Bài tập 6: Tính tổng S = C₂₀₁₃ + 3^{Đầu tiên}₂₀₁₃ + 3² CŨ²₂₀₁₃ +… + 3²⁰¹³ CŨ²⁰¹³₂₀₁₃

Bài tập 7: Tìm hệ số của số hạng chứa x^mười trong phần mở rộng của biểu thức:

Bài tập 8: Tìm ba số hạng đầu tiên bằng cách tăng lũy ​​thừa của x trong khai triển (1 + 2x)^mười

Bài tập 9: Tìm hệ số của x⁵ trong phần mở rộng P (x) = (x + 1)⁶ + (x + 1)⁷ +… + (X + 1)^{thứ mười hai}

Bài tập 10: Tìm hệ số của số hạng thứ ba trong khai triển (2a – b)⁵