Trong toán học hình học không gian, hình lăng trụ là một trong những hình không gian có nhiều hình dạng khác nhau như hình lăng trụ đứng, hình lăng trụ tam giác đều, hình lăng trụ tứ giác đều và các hình dạng khác. Mỗi dạng sẽ có những tính chất và công thức tính toán khác nhau. Bài viết dưới đây sẽ giúp các em nắm được một dạng khá thường gặp trong các hình lăng trụ, đó là kiến thức về lăng trụ tam giác đều và các bài giải bài tập từ cơ bản đến nâng cao để có thể vận dụng. Sử dụng sau bài học.
Hình lăng trụ là một hình đa diện gồm hai đáy là hai đa giác bằng nhau và nằm trên hai mặt phẳng song song, các cạnh bên song song, các cạnh bên song song hoặc bằng nhau.
Hình lăng trụ tam giác đều là hình lăng trụ có đáy là hai tam giác đều.
Hình lăng trụ tam giác đều
Mục lục
Tính chất của lăng trụ tam giác đều
Tính chất của lăng trụ là tam giác đều:
- Các đáy là hai tam giác đều nên các đáy bằng nhau.
- Cạnh bên vuông góc với mặt dưới.
- Các mặt bên là hình chữ nhật.
Công thức tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều
Thể tích của khối lăng trụ bằng diện tích của đáy và khoảng cách giữa các đáy hoặc chiều cao. Công thức tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều
V = Bh
Trong đó: B là diện tích của đáy, h là chiều cao của lăng trụ và V là thể tích của lăng trụ
Mặt đáy của lăng trụ tam giác đều là tam giác đều. Gọi A là diện tích tam giác đều, ta có công thức tính diện tích tam giác đều sau:
Bài tập 1
Tìm thể tích của tam giác đều ABCA’B’C ‘có độ dài đáy là 8 cm và mặt phẳng A’B’C’ tạo với đáy ABC một góc 60o.
Câu trả lời:
Gọi là trung điểm của đoạn thẳng BC, ta có:
AI vuông góc với BC (theo tính chất đường trung bình của tam giác đều)
A’I vuông góc với BC (vì A’BC là tam giác cân)
- Góc A’BC, ABC = góc AIA ‘= 60
Diện tích tam giác ABC:
- Thể tích của khối lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C ‘là:
Bài tập 2
Tính thể tích của khối lăng trụ tam giác đều ABCA ‘B’C’ có đáy là tam giác nội tiếp đường tròn bán kính a, diện tích mặt bên của lăng trụ là
Bài tập 3
Hình lăng trụ tam giác đều ABCA ‘B’C’ có đường cao bằng a. Mặt phẳng (ABC ‘) tạo với cơ sở một góc 30. Tính thể tích của khối lăng trụ
Bài tập 4
Hình lăng trụ tam giác đều ABCA’B’C ‘có đáy là a. Diện tích tam giác ABC ‘là 
Tính thể tích của khối lăng trụ
Bài tập 5
Hình lăng trụ tam giác ABCA ‘B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. Đỉnh A ‘của lăng trụ cách đều A, B và C. Mặt bên AA’ tạo với mặt chính một góc 60o.. Tính thể tích của khối lăng trụ.
Bài tập 6
Cho hình lăng trụ tam giác đều ABCA ‘B’C’ có cạnh chính bằng a và chiều cao gấp đôi mặt chính. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của các nước AA ‘, BB. Tính tỉ số thể tích của khối chóp C.ABEF với thể tích của khối lăng trụ đã cho
Bài tập 7
Cho lăng trụ đứng ABCA ‘B’C’ có tất cả các cạnh bằng a. Tính thể tích của khối tứ diện A’BB’C.
Bài tập 8
Cho lăng trụ đứng, tam giác ABCA ‘B’C’ có đáy là tam giác vuông ở A với AC = b, góc ACB bằng 60. Đường thẳng BC ‘tạo với mặt phẳng AA’C’C một góc bằng 30 °.
Tính độ dài đoạn thẳng AC ‘
Tính thể tích của khối lăng trụ đã cho
Bài tập 9
Cho lăng trụ tam giác ABCA ‘B’C’ có đáy là tam giác đều cạnh a, điểm A ‘cách đều 3 điểm A, B, C, cạnh bên AA’ tạo với mặt phẳng đáy một góc 60.
Tính thể tích của khối lăng trụ này
Chứng minh rằng mặt bên BCC’B ‘là hình chữ nhật
Tính tổng diện tích các mặt của hình lăng trụ tam giác ABCA’B’C ‘
Bài tập 10
Cho ABCA ‘B’C’ là hình lăng trụ tam giác đều. Gọi M là trung điểm của cạnh AA ‘. Mặt phẳng đi qua M, B ‘, C chia lăng trụ thành hai phần. Tính tỉ số thể tích của hai phần.
Bài tập 11
Cho lăng trụ tam giác đều chiều cao h, ngoại tiếp mặt cầu bán kính R (h <2R) (Hình lăng trụ tam giác đều nội tiếp một mặt cầu sao cho sáu đỉnh của lăng trụ đều nằm trên mặt cầu đó).
a) Tính cạnh chính của lăng trụ.
b) Tính thể tích của khối lăng trụ.
c) Tính h đối với R để mỗi mặt của lăng trụ là một hình vuông.
Câu trả lời:
a) Gọi O là tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ và hình chiếu của O trên mặt phẳng (ABC). sau đó chúng tôi có:
OA = OB = OC = R
OI = 1 / 2. giờ
Tam giác OAI là tam giác vuông ở I nên AI2 – Thế vận hội2 = RẺ2 – 1/4 giờ2
IA là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC, tức là
Vậy cạnh chính của lăng trụ bằng
b) Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C ‘là
c) Mỗi mặt của lăng trụ đều là hình vuông nếu và chỉ khi AB = h, tức là
Bài tập 12
Xét lăng trụ đứng ABC.A’B’C ‘có đáy là tam giác đều cạnh a√3, góc giữa và mặt đáy bằng 60º. Gọi M là trung điểm của. Tìm thể tích của hình chóp M.A’B’C ‘
Câu trả lời:
Vì AA ‘vuông góc với tam giác ABC nên điều này xảy ra
(A’C, (ABC)) = góc A’CA = 60º
Ta có AA ‘= AC. Tân A’KA
= a√3.tan60º = 3a
Bài tập 13
Cho lăng trụ đứng ABC.A1 B1 C1, đáy ABC là tam giác vuông cân tại B với BA = BC = 2a, biết A1 M = 3a, với M là trung điểm BC. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A1 B1 C1
Câu trả lời:
Bài tập 14
Cho lăng trụ đứng có đáy ABC.A’B’C ‘với AB = a; AC = 2a và ∠ (BAC) = 120º, mặt phẳng (A’BC) hợp với mặt đáy một góc 60º. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C ‘
Câu trả lời:
Ta thu được A’M vuông góc với BC
A’M vuông góc với BC, AA ‘vuông góc với BC => (AA’M) vuông góc với BC
=> AM vuông góc với BC
tam giác A’BC cắt tam giác ABC = BC
